Steven Strogatz, Η χαρά του x -Μια ξενάγηση στα μαθηματικά, από το ένα μέχρι το άπειρο, Κάτοπτρο 2023, σελ. 426
Οι λέξεις είναι ένα εντελώς ασαφές υποκατάστατο για τις μαθηματικές εξισώσεις
Ισαάκ Ασίμοφ
Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα. Δεν είναι, όμως, απλώς, μια γλώσσα.
Δεν αναπαριστούν τον κόσμο. Είναι ένας κόσμος, από μόνα τους. Θέλω να πω, ακόμη κι αν κάνουμε αφαίρεση του «αληθινού» κόσμου, του υλικού κόσμου με την ανεξάρτητη, «αντικειμενική», πραγματικότητα, τα μαθηματικά θα συνεχίσουν να υφίστανται. Το Πυθαγόρειο θεώρημα «υπάρχει» ακόμη κι αν δεν υπάρχουν «υλικά» τρίγωνα. Υπάρχει αντικειμενικά, έστω κι αν δεν αποτελείται από κουάρκς ή ηλεκτρόνια.
Ο Πολ Έρντος έλεγε: «Αν δεν είναι όμορφοι οι αριθμοί, δεν ξέρω τι είναι όμορφο».
Ο Steven Strogatz μας ταξιδεύει σε ένα μεγάλο εύρος των μαθηματικών, προσφέροντας, όπως μας λέει ο ίδιος, «μια ξενάγηση από τα προσχολικά μέχρι τα μεταπτυχιακά». Και, όσο κι αν φαίνεται πολύ φιλόδοξο, τα καταφέρνει. Καταφέρνει, δηλαδή, να μας κάνει περήφανους, κατά μια έννοια, για την κατανόησή μας, αρκεί να ενεργοποιήσουμε λίγο τα λυκειακά μας, ίσως και τα γυμνασιακά μας, αποθέματα.
Γιατί, όμως, είναι όμορφοι οι αριθμοί; Γιατί κάνουν πολύ όμορφα πράγματα. Αποκαλύπτουν κόσμους αισθητικά ανυπέρβλητους. Δεν είναι τυχαίο πόσο θαυμαστά είναι τα έργα των κυβιστών ή των σουπρεματιστών και των κονστρουκτιβιστών. Πόσο ωραία ζωγραφίζει συνολικά η ρωσική πρωτοπορία ή δημιουργεί τα γλυπτά του ο Τζακομέτι.
Από την αρχή οι εικαστικές τέχνες, αλλά και η μουσική, έχουν στα θεμέλιά τους τους αριθμούς και τα σχήματα. Η αισθητική καθορίζεται κυρίαρχα από αυτό, είναι καταστατική συνθήκη της.
Οι πρώτοι, οι δίδυμοι, οι ομάδες, οι μιγαδικοί, οι εξισώσεις, οι ταυτότητες, τα σχήματα, τα ημίτονα, οι παράγωγοι και τα ολοκληρώματα, η γκαουσιανή καμπύλη, τα απειροσύνολα, οι ακολουθίες και οι σειρές, το χάος και οι λογάριθμοι είναι ένα μέρος μόνο της επικράτειας, όπου μας ξεναγεί ο Στρόγκατζ.
Λέγεται πως, όταν ο Γκάους ήταν στην Τρίτη Δημοτικού, ο δάσκαλος έβαλε την τάξη του να αθροίσει τους αριθμούς από το 1 έως το 100. Στρώθηκαν τα παιδιά να υπολογίσουν, αλλά ο Γκάους μέσα σε ένα λεπτό, έδωσε την απάντηση. Να, τι έκανε!
Έβαλε τους αριθμούς στη σειρά: 1, 2, 3, 4, 5, …………, 97, 98, 99, 100 και διαπίστωσε πως τα ζευγάρια των «απέναντι», ως προς το μέσο, που ήταν το 50, είχαν το ίδιο άθροισμα. 1+100 =2+99=3+98=4+97=…..=101. Πόσα τέτοια ζευγάρια είχαμε; Προφανώς, 50. Άρα το ζητούμενο άθροισμα ήταν ίσο με το γινόμενο 50X101 =5050. Τόσο απλό!
Με τον ίδιο τρόπο, σε δύο λεπτά, μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των πρώτων χιλίων , των πρώτων μυρίων, του πρώτου εκατομμυρίου, δισεκατομμυρίου,…. Δεν είναι σπουδαίο κόλπο;
Στην πραγματικότητα, σε όλες τις περιπτώσεις, στα μαθηματικά, τέτοια θαυμαστά κόλπα κάνουμε. Όταν, μάλιστα, κατανοούμε πως τα μαθηματικά υπάρχουν, για να απλοποιούν και όχι για να περιπλέκουν τα πράγματα, τότε τα κόλπα γίνονται ασύγκριτα διασκεδαστικά. Τα βιβλίο μας πείθει γι’ αυτό.
Δείτε ένα ακόμα.
Σας ζητούν να υπολογίσετε την απειροσειρά S =1-1+1-1+1-1+1-1+…….
Προφανώς, S =(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…. =0+0+0+0+… =0
Προφανώς, όμως, και S =1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-… =1-0-0-0-… =1
Αλλά και S =1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-… =1-[1-1+1-1+1-1+…] =1-S, δηλαδή, S =1-S, άρα S+S =1, άρα 2S =1, άρα S = ½
Επομένως, η απειροσειρά έχει άθροισμα 1; Μήπως έχει 0; Ή ½;
Μήπως είναι, όσο κι αν φαίνεται παράλογο και 1 και 0; Κάποιοι περί το 1700 ισχυρίστηκαν ότι αυτό αποδεικνύει πώς ο Θεός δημιούργησε τον μοναδικό μας κόσμο από το μηδέν -ex nihilo! Για το ½ δεν υπήρξε, από όσο ξέρω, μεταφυσική επέκταση.
Το τι συμβαίνει θα το διαβάσετε στο βιβλίο. Το μυστήριο, ωστόσο, νομίζω ότι είναι ήδη αρκούντως διεγερτικό.
Ακούγεται συχνά η αντίρρηση: Μα, «σε τι μας χρειάζονται όλα αυτά»; Δεν είναι εντελώς άχρηστα και περιττά για τον πρακτικό μας βίο; Ναι, είναι παντελώς άχρηστα. Μόνο που όλα όσα είναι χρήσιμα αρδεύονται από τα περιττά. Και η πιο «αφηρημένη», η πιο απομακρυσμένη «από του κόσμου τούτου», βασική έρευνα είναι αναγκαία για να έχουμε «παραγωγικότητα» και TikTok, δορυφορική και αεροπλάνα. Πίσω από αυτά όλα, υπάρχουν πολύ περισσότερα σύνολα, πρώτοι αριθμοί, λαγκρανζιανές ή επιεπιφάνεια ολοκληρώματα απ’ ό,τι ευφυής (!) «επιχειρηματικότητα».
Υπάρχουν, όμως, και πιο «άμεσες» χρήσεις των μαθηματικών. Οι δικαστές, π.χ., παιδιά της «θεωρητικής κατεύθυνσης» όλοι, δεν μπορούν να βγάλουν συμπέρασμα στα πιο θεμελιώδη, χωρίς να «πιάνουν πουλιά», έστω και εύκολα, στη στατιστική.
Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα της δίκης του σούπερ σταρ Αμερικανού υπεραθλητή Τζ. Ο. Σίμπσον, που το 1994 κατηγορήθηκε για τη δολοφονία της πρώην γυναίκας του και του συντρόφου της.
Η πολιτική αγωγή, προκειμένου να στηρίξει την κατηγορία, επικαλέστηκε τη διαχρονικά βίαιη συμπεριφορά του απέναντι στη σύζυγό του: την γρονθοκοπούσε, τη χτυπούσε στον τοίχο και τη χούφτωνε δημοσίως, λέγοντας στους παρευρισκόμενους «ιδιοκτησία μου είναι».
Η υπεράσπισή του, από την άλλη, «αποδόμησε» το επιχείρημα, παρουσιάζοντας το ακαταμάχητο εύρημα ότι ένα ελάχιστο ποσοστό των ανδρών που χτυπούν τις συμβίες τους -1 στους 2500- φτάνει μέχρι τον φόνο. Είναι πολύ πιθανό οι δικηγόροι να μην καταλάβαιναν γρι από όλα αυτά. Είναι εξίσου πιθανό πως είχαν κατάλληλους «τεχνοκράτες», που τους συμβούλευαν. Όπως κι αν έχει, όμως, η πολύ πειστική άποψή τους ήταν, ως προς το συμπέρασμα, ανοησία ολκής.
Ας το δούμε. Παίρνοντας ένα δείγμα 100000 γυναικών, που τις χτυπούσαν οι άνδρες τους, και δεχόμενοι τα νούμερα της υπεράσπισης, βρίσκουμε πως (100000/2500 =) 40 γυναίκες δολοφονούνται από τους βίαιους συζύγους τους. Tα στοιχεία του FBI δείχνουν πως στις 100000 γυναίκες δολοφονούνται ετησίως 43. Πράγμα που σημαίνει ότι οι 40 στις 43 δολοφονημένες γυναίκες ανήκουν στην κατηγορία αυτών, που υφίσταντο κακοποίηση: το 93%!
Δεν είναι καθόλου βέβαιο πως οι δικαστές το «έχουν». Ίσως, κάποια βασικά μαθήματα στατιστικής τούς χρειάζονται ανυπερθέτως.
Ο Στρόκατζ, με το βιβλίο του, προσφέρει δεκάδες ευκαιρίες, στο μέσο αναγνώστη, να μυηθεί, με την ορφική, σχεδόν, έννοια της λέξης, στον μαγικό, υπερβατικό όσο και απολύτως γειωμένο, κόσμο των μαθηματικών.
Τα μαθηματικά δεν είναι «δύσκολα». Απλώς, θέλουν τον τρόπο τους. Δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για την προσέγγισή τους. Άλλωστε, όπως έγραψε ο Τένισον, «ο ρους της αληθινής αγάπης ποτέ δεν κύλησε σε κοίτη ήρεμη».
Δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος, υπάρχει, όμως, «λαϊκός».
«Η χαρά του x» είναι ένας τέτοιος δρόμος, κατασκευασμένος για όλους. Πώς θα μπορούσε να είναι αλλιώς, όταν μας δίνει τον τρόπο να μιλάμε στην καλή μας, από απόσταση, μπροστά στον ελλειπτικό τοίχο του, διάσημου από το σινεμά, κεντρικού σιδηροδρομικού σταθμού της Νέας Υόρκης αρκεί να στεκόμαστε στις δυο εστίες της έλλειψης. Τότε ακούγονται μόνο οι φωνές μας, ανακλώμενες στον τοίχο, η μία και η άλλη, χωρίς κανείς να μπορεί να συλλάβει την συνομιλία μας.
Τα μαθηματικά είναι αληθινά γιατί είναι όμορφα.
